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Gli sviluppi di Taylor utilizzati negli esercizi sono spesso utilizzati per studiare il comportamento di una funzione quando essa è vicina allo 0. Gli sviluppi intorno a zero prendono il nome di sviluppi di Taylor-Mc Laurin.
I seguenti sviluppi delle funzioni elementari sono dunque da considerarsi applicabili soltanto nel caso in si sta studiando il l’andamento di una funzione in un intorno di 0 \left(x\to 0\right), altrimenti è necessario approssimare le funzioni tramite la formula generale degli sviluppi di Taylor.
Per x\to 0 valgono dunque i seguenti sviluppi notevoli:
Sviluppo dell’esponenziale:
e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)Sviluppo del seno:
\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+(-1)^n\,\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o\left(x^{2n+2}\right)Sviluppo del coseno
\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+\dots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o\left(x^{2n+1}\right)Sviluppo della tangente
\tan(x)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}x^5+o\left(x^6\right)Sviluppo del logaritmo
\log(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\dots+(-1)^{(n-1)}\,\frac{x^n}{n}-o\left(x^n\right)Sviluppo del seno iperbolico
\sinh(x)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o\left(x^{2n+2}\right)Sviluppo del coseno iperbolico
\cosh(x)=1+\frac{x^3}{2}+\frac{4}{4!}+\dots+\frac{2^{2n}}{(2n)!}+o\left(x^{2n-1}\right)Sviluppo della tangente iperbolica
\tanh(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2}{15}x^5+o(x^6)Sviluppo del settore di tangente iperbolica
\text{sett}(\tanh(x))=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\dots+\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o\left(x^{2n+2}\right)Sviluppo dell’arcoseno
\arcsin(x)=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3}{40}x^5+o\left(x^6\right)Sviluppo dell’arcocoseno
\arccos(x)=\frac{\pi}{2}-x-\frac{1}{6}x^3-\frac{3}{40}x^5+o\left(x^7\right)Sviluppo dell’arcotangente
\arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{1}{5}x^5+\dots+(-1)^n\,\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o\left(x^{2n+2}\right)Sviluppo di una potenza di binomio
(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\binom{\alpha}{2}x^2+\binom{\alpha}{3}x^3+\dots+\binom{\alpha}{n}x^n+o\left(x^n\right)Sviluppo di frazione (1)
\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\dots+(-1)^n\,x^n+o\left(x^n\right)Sviluppo di frazione (2)
\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\dots+x^n+o\left(x^n\right)Sviluppo di radice 1
\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{16}x^3+\dots+\binom{1/2}{n}\,x^n+o\left(x^n\right)Sviluppo di radice 2
\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}x^2-\frac{5}{16}x^3+\dots+\binom{-1/2}{n}\,x^n+o\left(x^n\right)Sviluppo di radice 3
\sqrt[3]{1+x}=1+\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}x^2+\frac{5}{81}x^3+\dots+\binom{1/3}{n}\,x^n+o\left(x^n\right)Sviluppo di radice 4
\frac{1}{\sqrt[3]{1+x}}=1-\frac{1}{3}x+\frac{2}{9}x^2-\frac{7}{81}x^3+\dots+\binom{-1/3}{n}\,x^n+o\left(x^n\right)